Quantos múltiplos de 10 você pode encontrar entre 100 e 9999, nos quais todos os algarismos são distintos?
Alternativas:
a) 250
b) 321
c) 504
d) 576
Resolução:
Para um número ser múltiplo de 10, ele certamente deve terminar em 0. Isso reduz significativamente nossas opções. Como estamos considerando números entre 100 e 9999, temos similarmente três ou quatro algarismos para analisar.
Primeiro, consideremos números de três algarismos:
Os números de três algarismos que são múltiplos de 10 e possuem algarismos distintos possuem a forma _ _ 0.
Para o primeiro algarismo, ele pode ser qualquer número de 1 a 9 (9 opções) porque não pode ser zero (caso contrário, estaríamos fora do intervalo estabelecido).
Para o segundo algarismo, ele pode ser qualquer número que não seja zero ou o primeiro algarismo escolhido (8 opções).
Assim, temos 9 x 8 = 72 números de três algarismos que são múltiplos de 10 e têm algarismos distintos.
Agora, consideremos números de quatro algarismos:
Os números de quatro algarismos que são múltiplos de 10 e possuem algarismos distintos possuem a forma _ _ _ 0.
Para o primeiro algarismo, ele pode ser qualquer número de 1 a 9 (9 opções).
Já para o segundo algarismo, ele pode ser qualquer número exceto o primeiro algarismo (8 opções).
E para o terceiro algarismo, ele não pode ser o primeiro, o segundo, ou zero (7 opções).
Assim, temos 9 x 8 x 7 = 504 números de quatro algarismos que são múltiplos de 10 e têm algarismos distintos.
Por fim, fomando os dois conjuntos, temos: 72 (três algarismos) + 504 (quatro algarismos) = 576
Quantos múltiplos de 10?
Portanto, existem 576 números entre 100 e 9999 que são múltiplos de 10 e possuem algarismos distintos, a resposta correta: d) 56
Em um contexto histórico e matemático, esse tipo de problema certamente remete à análise combinatória, um ramo da matemática que estudou profundamente as maneiras de contar e organizar objetos.
O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) foi um dos pioneiros na formalização desses conceitos.
Por outro lado, a compreensão desse tipo de problema pode ser vista como fundamental para o desenvolvimento de outras áreas da matemática e ciência, como a teoria dos números e a criptografia.
Exemplo baseado nessa questão 01:
Dado um número de quatro algarismos que começa com o dígito 7 e termina com o dígito 3, quantos desses números possuem todos os algarismos distintos?
a) 80
b) 72
c) 64
d) 56
e) 48
Alternativas e Resolução:
O número tem a forma 7_ _3.
Para o segundo algarismo, ele não pode ser 7 ou 3. Portanto, ele pode ser qualquer um dos 8 dígitos restantes (0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9).
Dessa forma, para o terceiro algarismo, ele não pode ser 7, 3 ou o dígito escolhido para o segundo algarismo. Portanto, ele pode ser qualquer um dos 7 dígitos restantes.
Assim, temos 8 x 7 = 56 números que satisfazem as condições dadas, resposta correta: d) 56
Exemplo baseado nessa questão 02:
Considerando números de três algarismos que começam com o dígito 5 e terminam com o dígito 1, quantos desses números possuem todos os algarismos distintos?
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
Resolução:
O número tem a forma 5_1.
Dessa forma, para o algarismo do meio, ele não pode ser 5 ou 1. Portanto, ele pode ser qualquer um dos 8 dígitos restantes (0, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9).
Assim, temos 8 números que satisfazem as condições dadas, a resposta correta: b) 8
