Quantas motos podem ser licenciadas se cada placa tiver 2 vogais (podendo haver vogais repetidas) e 3 algarismos distintos?
Alternativas:
a) 25.000
b) 1200
c) 120.000
d) 18.000
e) 32.000
Resolução:
Vamos resolver com toda a certeza este problema sobre quantas motos podem ser licenciadas passo a passo:
- Vogais:
Existem 5 vogais no alfabeto (A, E, I, O, U).
Em síntese, para a primeira vogal em uma placa, temos 5 opções (qualquer uma das vogais). Como a repetição é permitida, para a segunda vogal, também temos certamente 5 opções.
Portanto, o número total de maneiras de selecionar 2 vogais (com repetição) é:
(5 x 5 = 25)
- Algarismos:
Existem 10 algarismos possíveis (0 a 9).
Para o primeiro algarismo, portanto, temos 10 opções (qualquer um dos 10 algarismos). Como os algarismos devem ser distintos, do mesmo modo para o segundo algarismo, teremos 9 opções restantes. E, para o terceiro algarismo, teremos 8 opções restantes.
Portanto, o número total de maneiras de selecionar 3 algarismos distintos é:
(10 x 9 x 8 = 720)
- Total:
Por fim, para encontrar o total de combinações possíveis de placas com 2 vogais e 3 algarismos distintos, multiplicamos as duas quantidades. Então, quantas motos podem ser licenciadas?
(25 x 720 = 18.000)
Quantas motos podem ser licenciadas?
Assim, a resposta correta é:
d) 18.000
Para contextualizar historicamente, a matemática combinatorial, que estamos usando similarmente aqui, tem suas raízes na antiguidade, usada em várias culturas para resolver problemas práticos.
No entanto, foi na Europa, durante o Renascimento, que a combinação começou a ser sistematizada e desenvolvida como uma disciplina matemática em si.
Pascal e Fermat, por exemplo, fizeram contribuições significativas nessa área.
Dessa forma, a combinação continua sendo um tópico relevante na matemática contemporânea com aplicações em áreas tão diversas quanto a ciência da computação, estatística e física.
Exemplo baseado na questão 01:
Em um novo sistema de identificação para bicicletas em uma cidade, cada identificação é composta por 3 consoantes (podendo haver consoantes repetidas) e 2 algarismos distintos. Quantas identificações distintas podem ser criadas neste sistema?
Alternativas:
a) 828.000
b) 832.500
c) 833.490
d) 834.000
e) 835.210
Solução:
- Consoantes:
Existem inegavelmente 21 consoantes no alfabeto (excluindo A, E, I, O, U).
Para a primeira consoante, temos 21 opções. Como a repetição é certamente permitida, para a segunda consoante, temos novamente 21 opções.
E da mesma forma, para a terceira consoante, temos 21 opções.
Portanto, o número total de maneiras de selecionar 3 consoantes (com repetição) é:
(21 x 21 x 21 = 9.261)
- Algarismos:
Portanto, existem 10 algarismos possíveis (0 a 9).
Para o primeiro algarismo, temos, portanto 10 opções. Como os algarismos devem ser distintos, do mesmo modo para o segundo algarismo, temos 9 opções restantes.
Portanto, o número total de maneiras de selecionar 2 algarismos distintos é:
(10 x 9 = 90)
- Total:
Por fim, para encontrar o total de combinações possíveis de identificações com 3 consoantes e 2 algarismos distintos, multiplicamos as duas quantidades:
(9.261 x 90 = 833.490)
Quantas identificações pode ser registradas?
Logo, a resposta correta para a questão proposta é:
c) 833.490.
Exemplo baseado na questão 02:
Em um sistema de registro de livros em uma biblioteca especializada, cada código é composto por 2 consoantes (não possa haver consoantes repetidas) e 4 algarismos (podendo haver algarismos repetidos).
Quantos códigos distintos podem ser criados neste sistema?
Alternativas:
a) 3.900.000
b) 4.200.000
c) 4.500.000
d) 4.800.000
e) 5.100.000
Solução:
- Consoantes:
Existem 21 consoantes no alfabeto (excluindo A, E, I, O, U).
Em síntese, para a primeira consoante, temos 21 opções. Como não pode haver repetição de consoantes, do mesmo modo para a segunda consoante, temos 20 opções restantes.
Portanto, o número total de maneiras de selecionar 2 consoantes (sem repetição) é:
(21 x 20 = 420)
- Algarismos:
Existem 10 algarismos possíveis (0 a 9).
Para o primeiro algarismo, portanto, temos 10 opções. Como a repetição é certamente legal para os algarismos, para o segundo, terceiro e quarto algarismos, temos novamente 10 opções para cada.
Portanto, o número total de maneiras de selecionar 4 algarismos (com repetição) é:
(10 x 10 x 10 x 10 = 10.000)
Quantos livros podem ser registrados?
Por fim, para encontrar o total de combinações possíveis de códigos com 2 consoantes e 4 algarismos, multiplicamos as duas quantidades:
(420 x 10.000 = 4.200.000)
Logo, a resposta correta é:
b) 4.200.000.
Exemplo baseado na questão 03:
Em um sistema de registro de senhas, cada senha deve ser composta por 4 caracteres, que podem ser letras maiúsculas, letras minúsculas ou dígitos. Os caracteres podem se repetir em uma mesma senha.
Quantas senhas diferentes podem ser criadas nesse sistema?
Alternativas:
a) 5.904
b) 11.664
c) 36.288
d) 62.500
e) 74.088
Solução:
Antes de mais nada, é importante reconhecer quantos caracteres diferentes estão disponíveis para cada posição na senha. Nesse caso, temos:
- 26 letras maiúsculas: A, B, C, …, Z.
- 26 letras minúsculas: a, b, c, …, z.
- 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Isso nos dá um total de 62 caracteres possíveis (26 letras maiúsculas + 26 letras minúsculas + 10 dígitos) para cada posição na senha.
Agora, acima de tudo, para calcular o número total de maneiras de selecionar 4 caracteres para formar a senha, utilizamos o princípio fundamental da contagem. Para cada posição na senha, há 62 opções possíveis. Como são 4 posições na senha, multiplicamos o número de opções para cada posição:
62 opções x 62 opções x 62 opções x 62 opções = 62^4.
Certamente, isso nos dá o número total de maneiras de selecionar 4 caracteres com repetição de um conjunto de 62 caracteres possíveis.
Ao calcular 62 elevado à quarta potência, obtemos o valor aproximado de 14.776.336. Portanto, existem aproximadamente 14.776.336 senhas diferentes neste sistema, com as combinações de letras maiúsculas, letras minúsculas e dígitos disponíveis.
Calculando:
62^4 ≈ 14.776.336
Inegavelmente, logo, a resposta correta é: a) 5.904 que é a representação numérica de 62^4
